Logaritmos - Equações Logaritmicas

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Agora que já estudamos todas propriedades dos logaritmos, podemos ver como aplicá-las na resolução de equações logaritmicas.

Equações logaritmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log.

Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, aplique isso e você acertará.

Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logaritmica, é a seguinte:

Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de verificar as condições de existência.

As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser DESCARTADAS!

Portanto, para aprendermos a resolver equações logaritmicas, vamos dar uma olhada em algumas questões chave de vestibulares passados.

01) O conjunto solução da equação logaritmica $formdata=\log_4(x+x^{2})=\frac{1}{2}$ é:

     (A) {-1; 2}
     (B) {-2; 1}
     (C) {-2}
     (D) {1}
     (E) { }

Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:

$formdata=x+x^2=4^{\frac{1}{2}}$

$formdata=x+x^2=2$

$formdata=x^2+x-2=0$

Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara.

$formdata=x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot+1\cdot+(-2)}}{2\cdot+1}\hspace{3}\longrightarrow\hspace{3}x=1\hspace{3}\textrm{+ou+}\hspace{3}x=-2$

Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução de equações logaritmicas.

Verificação, para $formdata=x=1$ : $formdata=\log_4(1+1^2)\hspace{4}\rightarrow\hspace{4}\log_42=\frac{1}{2}$ , OK

para $formdata=x=-2$ : $formdata=\log_4[-2+(-2)^2]\hspace{4}\rightarrow\hspace{4}\log_42=\frac{1}{2}$ , OK

Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"

2) O número real x que satisfaz a equação $formdata=\log_2(12-2^x)=2x$ é:

     (A) $formdata=\log_25$
     (B) $formdata=\log_2\sqrt{3}$
     (C) $formdata=2$
     (D) $formdata=\log_2\sqrt{5}$
     (E) $formdata=\log_23$

Aplicamos a equivalência fundamental:

$formdata=12-2^x=2^{2x}$

$formdata=2^{2x}+2^x-12=0$

$formdata=(2^{x})^2+2^x-12=0$

Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis $formdata=2^{x}=y$ , temos:

$formdata=y^2+y-12=0$

Aplicamos Bhaskara e chegamos em:

$formdata=y=-4\textrm{++e++}y=3$

Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente $formdata=2^{x}=y$ :

$formdata=2^x=-4$ Absurdo!

$formdata=2^x=3$ Aplicamos a equivalência fundamental,

$formdata=x=\log_23$

Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x na equação:

$formdata=\log_2(12-2^{\log_23})$

Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo:

$formdata=\log_2(12-3)$

$formdata=\log_29$

$formdata=\log_23^2$

Aplicamos a 3° propriedade operatória

$formdata=2\log_23$ , OK. É válida!

Resposta correta, letra "E".

3) A equação $formdata=\log_3x=1+\log_x9$ tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:

     (A) $formdata=0$
     (B) $formdata=\frac{1}{3}$
     (C) $formdata=9$
     (D) $formdata=6$
     (E) $formdata=3$

Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.

Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3².

$formdata=\log_3x=1+\log_x(3^2)$

E aplicamos a 3° propriedade operatória:

$formdata=\log_3x=1+2\log_x3$

O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um o inverso do outro (1° consequência da mudança de base).

$formdata=\log_3x=1+2\cdot\frac{1}{\log_3x}$

$formdata=\log_3x=1+\frac{2}{\log_3x}$

Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca $formdata=\log_3x=y$ :

$formdata=y=1+\frac{2}{y}$

Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:

$formdata=y^2=y+2$

$formdata=y^2-y-2=0$

Aplicamos Bhaskara e chegamos em $formdata=y=2\textrm{++ou++}y=-1$ . Estes são os valores de y, o exercício quer os valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:

$formdata=\log_3x=y$

para y=2: $formdata=\log_3x=2\rightarrow+x=3^2\rightarrow+x=9$

para y=-1: $formdata=\log_3x=-1\rightarrow+x=3^{-1}\rightarrow+x=\frac{1}{3}$

O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é $formdata=9\cdot\frac{1}{3}=3$ . Resposta, letra "E".

4) (UFRGS) A solução da equação $formdata=\log_2(4-x)=\log_2(x+1)+1$ está no intervalo:

     (A) [-2; -1]
     (B) (-1; 0]
     (C) (0; 1]
     (D) (1; 2]
     (E) (2; 3]

Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar as propriedades operatórias:

$formdata=\log_2(4-x)-\log_2(x+1)=1$

Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos:

$formdata=\log_2\left(\frac{4-x}{x+1}\right)=1$

Aplicamos a equivalência fundamental:

$formdata=\frac{4-x}{x+1}=2^1$

$formdata=4-x=2\cdot(x+1)$

$formdata=4-x=2x+2$

$formdata=x=\frac{2}{3}$

Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Psara isso, substituímos o valor de x encontrado na equação do enunciado:

$formdata=\log_2(4-\frac{2}{3})=\log_2(\frac{2}{3}+1)+1$

$formdata=\log_2(\frac{10}{3})=\log_2(\frac{5}{3})+1$

Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de x, não encontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta é $formdata=\frac{2}{3}=0,6666...$ mesmo

Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".

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