Logaritmos - Equivalência Fundamental

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Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender esta aqui e as posteriores).

Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

$formdata=\lo_bN=x\hspace{15}\leftrightarrow\hspace{15}N=b^x$

Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: "Qual o expoente x que devemos elevar a base b para resultar N".

Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.

Vamos dar um exemplo de cada:

Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?

Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

$formdata=\log_6216=x$

Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.

Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental:

$formdata=\log_6216=x\hspace{15}\leftrightarrow\hspace{15}216=6^x$

Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o $formdata=216=6^3$ .

Cortando as bases
$formdata=x=3$ Portanto, log₆ 216 = 3

Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equação $formdata=5^x=6$ ?

Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

$formdata=5^x=6\hspace{15}\leftrightarrow\hspace{15}x=\log_56$

Este é o valor de x

Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade $formdata=\log_ab=c$ é:

     (A) $formdata=a=b^c$
     (B) $formdata=b=a^c$
     (C) $formdata=c=b^a$
     (D) $formdata=b=c^a$
     (E) $formdata=c=a^b$

Esta é só aplicar a equivalência fundamental.

$formdata=b=a^c$

Resposta correta, letra "B".

Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:

$formdata=\log_5625$	Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a "x".
$formdata=\log_5625=x$	Agora é só usar a equivalência fundamental
	Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar!
	Bases igualada é só cortar.
$formdata=x=4$	Esta é a resposta: $formdata=\log_5625=4$

Mais um exemplo:

$formdata=\log_3243$	Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a "x".
$formdata=\log_3243=x$	Aplicando a equivalência fundamental.
$formdata=243=3^x$	Esta é uma exponencial. Fatorando.
$formdata=3^5=3^x$	Cortando as bases
$formdata=x=5$	Esta é a resposta: $formdata=\log_3243=5$

Mais um exemplo nunca é demais:

$formdata=\log_{25}(0,2)$	Igualando a "x".
$formdata=\log_{25}(0,2)=x$	Aplicando a equivalência fundamental.
$formdata=0,2=25^x$	Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der.
$formdata=\frac{1}{5}=(5^2)^x$	Aplicando as propriedades de potenciação.
$formdata=5^{-1}=5^{2x}$	Cortando as bases.
$formdata=-1=2x$ $formdata=x=-\frac{1}{2}$	Esta é a resposta: $formdata=\log_{25}(0,2)=-\frac{1}{2}$

Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a nossa resolução.

Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de equações.

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