Logaritmos - Conseqüências da Mudança de Base

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A mudança de base nos dá mais algumas ferramentas para utilizar calculando expressões que envolvam logaritmos.

1° Conseqüência: $formdata=\Large\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$

Essa conseqüência diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de lugar. Por exemplo, o inverso de $formdata=\log_4{56}$ é $formdata=\frac{1}{\log_4{56}}$ , e, por essa conseqüência, podemos escrever $formdata=\frac{1}{\log_4{56}}=\log_{56}4$ .

A demonstração desta propriedade é através da mudança de base. Partimos de $formdata=\log_ab$ e efetuamos a mudança de base para a nova base b.

$formdata=\log_ab=\frac{\log_bb}{\log_ba}$

Mas, sabemos que $formdata=\log_bb=1$ , portanto:

$formdata=\frac{1}{\log_ba}$ como queríamos demonstrar.

Veja como pode cair no vestibular esta propriedade através do exemplo abaixo:

(CAJU) Sendo $formdata=\log_727=a$ calcule o valor de $formdata=\log_37$ .

Podemos rescrever a informação $formdata=\log_727=a$ como sendo $formdata=\log_7(3^3)=a$ e aplicar a 3° Propriedade Operatória:

$formdata=3\log_73=a$

Veja que agora temos um logaritmo que é exatamente o inverso do logaritmo pedido no enunciado. Portanto, podemos modificar a expressão acima para:

$formdata=3\cdot\frac{1}{\log_37}=a$

E agora isolar o valor solicitado no enunciado:

$formdata=\log_37=\frac{3}{a}$

Esta é a resposta final

2° Conseqüência: $formdata=\Large\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$

Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo só.

A demonstração também não é difícil e só utiliza a troca de base. Partimos da multiplicação:

$formdata=\log_ab\cdot\log_bc$

E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma. Vou escolher a base a, ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a base a (no caso, o primeiro logaritmo já está na base a, portanto, não precisamos mexer nele):

$formdata=\log_ba\cdot\frac{\log_ac}{\log_ab}$

Agora os dois termos $formdata=\log_ba$ podem se cortar, e sobra:

$formdata=\log_ac$

Como queríamos demonstrar.

Veja como pode cair no vestibular.

(CAJU)Calcule o valor da expressão $formdata=\log_58\cdot\log_67\cdot\log_836\cdot\log_75$ .

Começamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos colocar o quarto logaritmo do lado do segundo:

$formdata=\underbrace{\log_58\cdot\log_75}\cdot\log_67\cdot\log_836$

Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita:

$formdata=\underbrace{\log_78\cdot\log_67}\cdot\log_836$

Estes novos termos grifados acima podem ser unidos também ao cortar a base 7 com o logaritmando 7:

$formdata=\log_68\cdot\log_836$

Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8:

$formdata=\log_636$

Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalência fundamental:

$formdata=\log_636=x$

$formdata=36=6^x$

$formdata=6^2=6^x$

$formdata=x=2$ Esta é a resposta final do exercício.

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