Logaritmos - Condições de Existência

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Não podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer número em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista, são as: condições de existência dos logaritmos.

Para mostrar quais são estas condições, vou dar um EXEMPLO ERRADO para cada restrição existente, para que você veja o absurdo que seria se elas não existissem.

Veja primeiro o exemplo abaixo:

Ex. 1: Quanto vale $formdata=\log_{4}{(-16)}$ ?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número 4 para obtermos -16. Você viu no capítulo de potenciação que não há valor para este expoente. Chegamos então a um absurdo.

Por causa deste tipo de absurdo, há uma restrição quanto ao sinal do logaritmando:

PRIMEIRA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA (logaritmando): O logaritmando deve ser um número positivo.

Veja que esta primeira restrição já inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3 (log₃0).

Veja o próximo exemplo errado para ilustrar a próxima restrição:

Ex. 2: Quanto vale $formdata=\log_{(-4)}{4}$ ?

Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número -4 para obtermos 4. Novamente chegamos em um absurdo, não há expoente que faça isso.

Ainda olhando para a base:

Ex. 3: Calcule $formdata=\log_{1}{4}$ .

Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Como visto no capítulo de potenciação, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, não existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo!

Ex. 4: Calcule $formdata=\log_{0}{4}$ .

Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo!

Com estes três exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condição de existência.

SEGUNDA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA (base): A base deve ser um número positivo diferente de 1.

Note que é dito que a base deve ser um número positivo, ou seja, não pode ser ZERO também.

Portanto, resumindo as três condições em um quadro só:

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA

log_bN = x

1°	N > 0
2°	b > 0
3°	b ≠ 1

Tá, e você deve estar se perguntanto: Como é que isso cai no vestibular? Uma maneira muito comum de cair é a questão perguntar o domínio de uma função com logaritmos.

Lembrando que domínio é o conjunto dos números para os quais a função existe, devemos apenas aplicar as condições de existência no logaritmo para encontrar seu domínio. Veja os exemplos abaixo:

1) Qual o domínio da função real definida por $formdata=f(x)=\log_5(5x-x^2-6)$ ?

Vemos que a base já está definida, vale 5. Portanto, não devemos aplicar a condição de existência na base, somente no logaritmando.

$formdata=5x-x^2-6>0$ arrumando termos,

$formdata=-x^2+5x-6>0$ as raízes da função do segundo grau são 2 e 3 e o gráfico tem concavidade para baixo. Desenhando a parábola:

Portanto, os valores nos quais a parábola retorna valores positivos estão no intervalo entre 2 e 3. Este será o domínio:

Domínio = $formdata=\{x\in+\R\hspace{4}|\hspace{4}2<x<3\}$

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