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O estudo de fatoração em
números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente
para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.
O que significa fatorar? O que é um fator?
Números Primos? :-)
Quando aprendemos a multiplicar (lá nas
primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:
Fatorar um número nada mais é do que
achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:
Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2
9 = 3 · 3
32 = 16 · 2
90 = 15 · 3 · 2
Todos estes são exemplos de fatoração.
Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.
Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.
Veja que os dois últimos exemplos, logo acima,
não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.
| NÚMEROS
PRIMOS |
| Número Primo Positivo é todo aquele número
que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e ele mesmo.
Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.
O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.
Os primeiros números primos positivos são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37...}
Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.
Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo. |
Para fatorar um número em fatores primos
utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.
Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:
Por
isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:
Com isso achamos a fatoração em primos
destes números:
| Número |
Fatoração
em primos |
Fatoração em Primos
utilizando Potências |
| 81 |
3 · 3 · 3 · 3 |
34 |
| 126 |
2 · 3 · 3 · 7 |
2 · 32 · 7 |
| 147 |
3 · 7 · 7 |
3 · 72 |
| 1365 |
3 · 5 · 7 · 13 |
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Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação
e radiciação. Veja os exemplos:
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Primeiro fatoramos o radicando:
Agora aplicando as propriedades de radiciação:
Portanto,
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