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O estudo de equações recíprocas é interessante pelo método de resolução utilizado.

Uma equação do quarto grau, recíproca, possui uma estratégia muito peculiar de resolução que sempre nos levará à resposta sem muita complicação. Veja a seguir.

Vamos resolver a seguinte equação recíproca:

1) $formdata=\Large+72x^4-6x^3-181x^2-6x+72=0$

Esta é uma equação polinomial recíproca de primeira espécie e do quarto grau. O início da resolução consiste em dividir os dois lados da equação por $formdata=x^2$ (já que x = 0 não é uma resposta):

$formdata=\frac{72x^4}{x^2}-\frac{6x^3}{x^2}-\frac{181x^2}{x^2}-\frac{6x}{x^2}+\frac{72}{x^2}=0$

Efetuando as divisões:

$formdata=72x^2-6x-181-\frac{6}{x}+\frac{72}{x^2}=0$

Vamos modificar a ordem das parcelas colocando os números iguais um ao lado do outro:

$formdata=72x^2+\frac{72}{x^2}-6x-\frac{6}{x}-181=0$

Colocando alguns termos em evidência, teremos:

(1) $formdata=72\cdot\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-6\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)-181=0$

Esta será nossa equação (1). Agora que vem o lance especial de equações recíprocas. Vamos criar uma nova variável para nos auxiliar, vamos dizer que:

(2) $formdata=x+\frac{1}{x}=t$

Esta será nossa equação (2). Vamos elevar os dois lados ao quadrado e criar a equação (3):

$formdata=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=t^2$

$formdata=x^2+2\cdot\frac{1}{x}\cdot+x++\frac{1}{x^2}=t^2$

$formdata=x^2+2++\frac{1}{x^2}=t^2$

Finalizando os cálculos:

(3) $formdata=x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$

Substituindo (2) e (3) em (1), teremos:

$formdata=72\cdot(t^2-2)-6t-181=0$

$formdata=72t^2-144-6t-181=0$

$formdata=72t^2-6t-325=0$

Aplicando Bhaskara nesta equação do segundo grau, teremos:

$formdata=t'=\frac{25}{12}$ e $formdata=t''=\frac{13}{6}$

Agora, estes valores de "t" podemos substituir na equação (2):

SUBSTITUINDO O VALOR DE "t" NA EQUAÇÃO (2)
(2) $formdata=x+\frac{1}{x}=t$
$formdata=t'=\frac{25}{12}$	$formdata=t''=\frac{13}{6}$
$formdata=x+\frac{1}{x}=-\frac{25}{12}$ Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos: $formdata=12x^2+12=-25x$ $formdata=12x^2+25x+12=0$ Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos: $formdata=x'=-\frac{4}{3}$ e $formdata=x''=-\frac{3}{4}$	$formdata=x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$ Tirando o MMC, e efetuando alguns cálculos, teremos: $formdata=6x^2+6=13x$ $formdata=6x^2-13x+6=0$ Aplicando Bhaskara nesta equação, teremos: $formdata=x'''=\frac{3}{2}$ e $formdata=x''''=\frac{2}{3}$
Estes valores de "x" são as raízes da equação 72x⁴ - 6x³ - 181x² -6x +72 = 0

Com este procedimento, conseguimos calcular qualquer tipo de equação recíproca do quarto grau.

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1 • Equações Recíprocas 2 • Recíprocas 1° Espécie 3 • Recíprocas 2° Espécie 4 • Resumão 5 • Resolução de Recíprocas 6 • Exercícios

1 • Equações Recíprocas
2 • Recíprocas 1° Espécie
3 • Recíprocas 2° Espécie
4 • Resumão
5 • Resolução de Recíprocas
6 • Exercícios