CAPÍTULOS DE ESTUDO 1 • Equações Recíprocas 2 • Recíprocas 1° Espécie 3 • Recíprocas 2° Espécie 4 • Resumão 5 • Resolução de Recíprocas 6 • Exercícios

Agora vamos incluir nela a raiz "1", ou seja, vamos multiplicar toda a equação pelo fator (x - 1).

Efetuando a propriedade distribuitiva:

Efetuando as contas com os termos que possuem mesmo grau, teremos:

Note que, exatamente como vimos na página inicial, os coeficientes eqüidistantes dos extremos (grifados com a mesma cor) são opostos (iguais em módulo mas com sinal trocado). Isto nos prova que o fator (x - 1) "transforma" uma equação recíproca de primeira espécie em uma de segunda espécie.

Aliás, só será recíproca de segunda espécie a equação que tiver a raiz "1", caso contrário não há maneira de conseguirmos a simetria oposta nos coeficientes.

E, se a equação (1) fosse multiplicada por (x - 1) novamente? Faça o exercício e veja você mesmo. A equação volta a ser de primeira espécie. E então, quando multiplicarmos de novo por (x - 1) voltará a ser de segunda espécie, e assim sucessivamente. Com este raciocínio, podemos concluir:

Em cima desta conclusão, podemos pensar mais um pouquinho. Já que as equações recíprocas de segunda espécie SEMPRE terão a raiz "1" com multiplicidade ímpar (mais as raízes "em pares" recíprocas umas das outras), a única possibilidade de termos uma recíproca de segunda espécie com grau par é incluindo um acompanhante para a raiz que está sozinha (a raiz "1"), para formar o par. Ou seja, a única possibilidade é incluir a raiz "-1":

Existe mais uma característica das recíprocas de 2^a espécie com grau par. Para vê-la, vamos pegar uma equação genérica de 2^a espécie de grau ímpar e incluir a raiz "-1", ou seja, multiplicar por (x + 1) para termos uma equação recíproca de 2^a espécie de grau par genérica:

Multiplicando por (x + 1):

(x + 1) . (a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + Mx^n/2 - Mx^(n/2)-1 - ... - a₁x - a₀) = 0

(a₀xⁿ⁺¹ + a₁xⁿ + ... + Mx^(n/2)+1 - Mx^(n/2) - ... - a₁x² - a₀x) + (a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + Mx^n/2 - Mx^(n/2)-1 - ... - a₁x - a₀) = 0

a₀xⁿ⁺¹ + (a₁ + a₀)xⁿ + ...   +(M - M)x^(n/2) - ... - (a₀ + a₁)+ x - a₀ = 0

Esta é uma equação genérica da recíproca de segunda espécie com grau par. Note que o termo central será anulado (M - M = 0). Esta é a última característica deste tipo de equação, o termo médio é nulo.

Veja alguns exemplos:

5x⁴ - 3x³ + 3x - 5 = 0

6x⁸ + 3x⁷ - 91x⁶ + x⁵ - x³ + 91x² - 3x - 6 = 0

Se esta propriedade não estiver presente na equação, não será uma recíproca.

Veja na próxima página um resumo com todas as propriedades de recíprocas :-)