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Antes de mais nada, vamos
interpretar o nome "Inequações Exponenciais".
É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou
seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE ou um sinal de igual (=).
É "Exponencial" pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma
incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é "x").
Veja uns
exemplos de inequações exponenciais:
23x > 4x 54x2 < 253x 
Note que nestas expressões não aparece o sinal de igualdade
(=), e sim outros sinais. São eles:
| Símbolo |
Significado |
| > |
maior |
| < |
menor |
| ≥ |
maior ou igual |
| ≤ |
menor ou igual |
Veja também, algumas frases
matemática que utilizam estes simbolos:
| Frase |
Como se lê |
V/F |
| 2 < 3 |
Dois é menor que três. |
VERDADEIRO |
| 43 > 40 |
Quarenta e três é maior que quarenta. |
VERDADEIRO |
| 23 ≥ 100 |
Vinte e três é maior ou igual que
cem. |
FALSO |
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Dois terços é menor ou igual a
quatro terços. |
VERDADEIRO |
| 5 ≥ 5 |
Cinco maior ou igual a cinco. |
VERDADEIRO |
OBS.: Na inequação acima,
como o sinal significa "maior OU igual" pode ser ou maior ou igual.
No exemplo
é igual, por isso é verdadeiro. |
Devemos lembrar que, em uma
inequação, quando trocarmos o lado direito da desigualdade pelo lado esquerdo da mesma,
o sinal deve também inverter. Ou seja:
| 25 < 50 |
Agora vamos colocar o 25 para direita e
o 50 para esquerda. |
| 50 > 25 |
Note que o sinal teve que
obrigatoriamente inverter. Esta regra também vale para inequações exponenciais. |
| 23x ≤ 32x |
Ao inverter os lados: |
| 32x ≥ 23x |
Devemos inverter o sinal de
desigualdade, qualquer que seja ele. |
A resolução de
INEquações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação exponencial:
IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. O 1o tipo que
iremos ver, não tem diferença nenhuma no modo de resolver em relação as equações.
Veja um exemplo do 1o tipo resolvido abaixo:
2x < 83 |
Como em uma equação, vamos fatorar
ambos os lados: |
| 2x <
(23)3 |
Aplicando as propriedades de
potenciação |
| 2x <
29 |
Pronto, com as bases iguais podemos
cortá-las e trabalhar somente com os expoentes. |
| x < 9 |
Gran finale!! Esta é a resposta |
Se você estudou bem as equações, não
terá dificuldades em inequações.
O 2o tipo tem uma pequena
diferença, mas nada que dê para assustar. Faz de conta que não sabemos que existe tal
diferença e vamos resolver o problema abaixo:
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Bom, como o objetivo é igualar as
bases, já conseguimos. O exercício nos entregou quase pronto. Agora é só cortar as
bases e trabalhar com os expoentes. |
4x + 5 ≥ 2x
+ 3 |
Vamos resolver |
4x - 2x ≥ 3 -
5
2x ≥ -2
x ≥ -1 |
Esta seria a resposta que nós
acharíamos, se não soubéssemos o segundo tipo. Vamos verificar se dá certo? |
Se esta resposta for a
certa, qualquer valor maior do que -1 (ou o próprio -1) que substituirmos na inequação
inicial deveremos achar uma frase verdadeira. Vamos testar com o valor 0. |
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Note que não chegamos em uma verdade
pois  não é maior nem
igual a  . |
Isto sempre irá acontecer
quando tivermos como base um número que seja menor que 1 e maior que 0 (0<base<1).
Repare que esta é a mesma restrição para se ter uma função exponencial DECRESCENTE.
Veja o gráfico abaixo de uma função exponencial decrescente:
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Note que se aumentarmos o valor de x,
iremos diminuir o valor de y (x2>x1 <=> ax2<ax1).
Isto nos indica que quando "cortarmos" as bases de uma inequação com
0<base<1 devemos inverter a desigualdade. |
Veja o exemplo acima resolvido corretamente:
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Já igualadas as bases, vamos
cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade. |
4x + 5 ≤ 2x
+ 3 |
Agora é só resolver. |
4x - 2x ≤ 3 -
5
2x ≤ -2
x ≤ -1 |
Agora sim esta é a resposta certa! |
| OBSERVAÇÃO |
Sempre que
tivermos uma base menor que 1 e maior que 0 (0<base<1) devemos INVERTER o sinal da
desigualdade ao "cortar" as bases da inequação. |
Clique aqui para fazer
alguns exercícios e ver alguns resolvidos sobre esta matéria.
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