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Função quadrática/UEM-PR

Enviado: 17 Mai 2021, 09:18
por Harison
Considere uma função real dada por
20210514_225446.jpg
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.Existe(m) valor(es) real(is) para [tex3]x[/tex3] tal(is) que [tex3]f(x)[/tex3] seja maior que 1?Em caso afirmativo,determine o(s) possível(is) valor(es) de [tex3]x[/tex3] para que isso ocorra.Caso contrário,justifique.
Resposta

Sim,para -3<[tex3]x[/tex3] <-1 ou [tex3]x[/tex3] >2

Re: Função quadrática/UEM-PR

Enviado: 17 Mai 2021, 13:47
por NathanMoreira
[tex3]f(x)>1[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{x^2+1}{x+3}}>1[/tex3]

Elevando ambos os lados ao quadrado:
[tex3]\left(\sqrt{\frac{x^2+1}{x+3}}\right)^2>1^2[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+1}{x+3}>1[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+1}{x+3}-1>0[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+1-(x+3)}{x+3}>0[/tex3]
[tex3]\frac{x^2-x-2}{x+3}>0[/tex3]

Ficamos com uma inequação quociente, para resolvê-la, consideramos numerador e denominador como duas funções distintas e analisamos seus sinais separadamente, para depois disso, analisar as intersecções que tornam o conjunto (a função do denominador dividida pelo do denominador) positivo.

[tex3]m(x)=x^2-x-2[/tex3]
[tex3]x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4.1.(-2)}}{2.1}[/tex3]
[tex3]x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{1\pm 3}{2}[/tex3]
[tex3]x_1=2[/tex3]
[tex3]x_2=-1[/tex3]

Por se tratar de uma equação do segundo grau com concavidade voltada para cima, os valores anteriores e posteriores às suas raízes serão positivos, enquanto os que estão entre elas, negativos.

[tex3]n(x)=x+3[/tex3]
[tex3]x+3=0[/tex3]
[tex3]x=-3[/tex3]

Já essa é uma função do primeiro grau com coeficiente angular positivo, ou seja, os valores anteriores à sua raiz são negativos e os posteriores, positivos.

Agora, analisando o conjunto [tex3]\frac{m(x)}{n(x)}[/tex3] :
Screenshot_11.png
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[tex3]\text{S}=\{x\in \mathbb{R}|\text{ }-3< x<-1 \text{ ou }x>2 \text{ }\}[/tex3]