Oie Amiguinhos.
Como faço essa demonstração?
[tex3]a^2+ab+b^2\geq 0 \ quaisquer\ que\ sejam \ a,b \in \mathbb{R}[/tex3]
Grata pela ajuda.
Bjinhos
Ensino Superior ⇒ Demonstração
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roberto
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Ago 2014
24
21:14
Re: Demonstração
Primeiramente, lembre-se que: Se [tex3]A\geq B[/tex3]
e [tex3]B\geq C[/tex3]
então: [tex3]A\geq C[/tex3]
. Da mesma forma:
[tex3]X\geq Y[/tex3] e [tex3]Y\geq 0[/tex3] Então [tex3]X\geq 0[/tex3] . Vou usá-la no final!!!
Começamos com: [tex3]a^2+b^2\geq 0[/tex3] ;somando [tex3]a^2+b^2[/tex3] a ambos os lados:
[tex3]2(a^2+b^2)\geq a^2+b^2[/tex3]
[tex3]2(a^2+b^2)+2ab\geq a^2+b^2+2ab[/tex3] ; colocando "2" em evidência no 1º membro:
[tex3]2(a^2+ab+b^2)\geq(a+b)^2[/tex3]
[tex3]a^2+ab+b^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2[/tex3]
Usando o fato acima citado:
[tex3]a^2+ab+b^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2}(a+b)^2\geq 0[/tex3]
Então: [tex3]a^2+ab+b^2\geq0[/tex3]
Entendeu?
[tex3]X\geq Y[/tex3] e [tex3]Y\geq 0[/tex3] Então [tex3]X\geq 0[/tex3] . Vou usá-la no final!!!
Começamos com: [tex3]a^2+b^2\geq 0[/tex3] ;somando [tex3]a^2+b^2[/tex3] a ambos os lados:
[tex3]2(a^2+b^2)\geq a^2+b^2[/tex3]
[tex3]2(a^2+b^2)+2ab\geq a^2+b^2+2ab[/tex3] ; colocando "2" em evidência no 1º membro:
[tex3]2(a^2+ab+b^2)\geq(a+b)^2[/tex3]
[tex3]a^2+ab+b^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2[/tex3]
Usando o fato acima citado:
[tex3]a^2+ab+b^2\geq\frac{1}{2}(a+b)^2[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2}(a+b)^2\geq 0[/tex3]
Então: [tex3]a^2+ab+b^2\geq0[/tex3]
Entendeu?
Editado pela última vez por roberto em 24 Ago 2014, 21:14, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Ago 2014
31
01:16
Re: Demonstração
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 31 Ago 2014, 01:16, em um total de 1 vez.
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