Ensino Médio ⇒ função inversa

[pipocaddoce]

a função d: R - {a} em R - {b}, definida por f(x) = 2x-6/x+1, é invertível. O valor de a+b é


a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

a resposta é letra c, mas não consegui chegar a esse resultado, alguém pode me ajudar ?

[petras]

pipocaddoce,

Enunciado errado..deveria ser

[tex3] f(x) = \frac{2x-6}{{x\color{red}-}1}\\
x-1 \neq 0 \implies x \neq 1=a\\
f^{-1}=\frac{-6+x}{x-2} \implies x -2 \neq 0 \implies x \neq 2=b\\
\therefore 1+2=\boxed{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] f(x) = \frac{2x-6}{{x\color{red}-}1}\\
x-1 \neq 0 \implies x \neq 1=a\\
f^{-1}=\frac{-6+x}{x-2} \implies x -2 \neq 0 \implies x \neq 2=b\\
\therefore 1+2=\boxed{3}[/tex3]

[ProfLaplace]

Imagino que você esteja querendo dizer [tex3]f(x)=\frac{2x-6}{x-1}[/tex3]

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[tex3]f(x)=\frac{2x-6}{x-1}[/tex3]

, certo?

Temos que x não pode ser 1 pois isso zeraria o denominador. Logo o domínio de f é [tex3]\mathbb{R}-\{1\}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}-\{1\}[/tex3]

e portanto [tex3]a=1[/tex3]

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[tex3]a=1[/tex3]

.
Para achar b faça a seguinte análise:
[tex3]y=f(x)=\frac{2x-6}{x-1} \Rightarrow xy-y=2x-6 \Rightarrow 2x-yx=6-y \Rightarrow x\cdot (2-y)=6-y[/tex3]

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[tex3]y=f(x)=\frac{2x-6}{x-1} \Rightarrow xy-y=2x-6 \Rightarrow 2x-yx=6-y \Rightarrow x\cdot (2-y)=6-y[/tex3]

. Dado um y no contradomínio, para que se possa "passar [tex3](2-y)[/tex3]

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[tex3](2-y)[/tex3]

dividindo" e achar o x correspondente, é preciso que [tex3]y\neq 2[/tex3]

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[tex3]y\neq 2[/tex3]

, pois se [tex3]y=2[/tex3]

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[tex3]y=2[/tex3]

chegamos no absurdo [tex3]0=4[/tex3]

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[tex3]0=4[/tex3]

. Logo [tex3]b=2[/tex3]

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[tex3]b=2[/tex3]

e [tex3]a+b=3[/tex3]

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[tex3]a+b=3[/tex3]

.

Outra forma de pensar é achar a inversa de f e, nesse caso, b será o valor que não está no domínio da inversa. Foi como o outro usuário fez.