det( [tex3]\begin{pmatrix}
x & a & a & a \\
a & x & a & a \\
a & a & x & a \\
a & a & a & x \\
\end{pmatrix}[/tex3] )=0
Resposta
S={a,-3a}/spoiler]
Ensino Médio ⇒ Matrizes e determinantes Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2022
21
14:06
Matrizes e determinantes
Resolva a equação:
det( [tex3]\begin{pmatrix}
x & a & a & a \\
a & x & a & a \\
a & a & x & a \\
a & a & a & x \\
\end{pmatrix}[/tex3] )=0
S={a,-3a}/spoiler]
det( [tex3]\begin{pmatrix}
x & a & a & a \\
a & x & a & a \\
a & a & x & a \\
a & a & a & x \\
\end{pmatrix}[/tex3] )=0
S={a,-3a}/spoiler]
Editado pela última vez por Epcar26 em 21 Fev 2022, 14:08, em um total de 1 vez.
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LostWalker
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Fev 2022
21
16:02
Re: Matrizes e determinantes
Simplificações
[tex3]\det\begin{pmatrix}x&a&a&a\\a&x&a&a\\a&a&x&a\\a&a&a&x\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot\det\begin{pmatrix}{\color{PineGreen}\frac xa}&1&1&1\\1&{\color{PineGreen}\frac xa}&1&1\\1&1&{\color{PineGreen}\frac xa}&1\\1&1&1&{\color{PineGreen}\frac xa}\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot\det\begin{pmatrix}{\color{PineGreen}b}&1&1&{\color{Red}1_{1,4}}\\1&{\color{PineGreen}b}&1&1\\1&1&{\color{PineGreen}b}&1\\1&1&1&{\color{PineGreen}b}\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot{\color{Red}(-1)^{1+4}}\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&1-1\\1-b&1-1&b-1\\1-b^2&1-b&1-b\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\1-b^2&1-b&1-b\end{pmatrix}=0[/tex3]
Sendo [tex3]L_3=L_3+L_1+L_2[/tex3] :
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\1-b^2+2(1-b)&1-b+b-1+0&1-b+0+b-1\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\{\color{PineGreen}3-2b-b^2}&0&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\{\color{PineGreen}c}&0&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
Trocando [tex3]C_1\rightarrow C_2[/tex3]
[tex3]{\color{Red}+\,}a^4\cdot\det\begin{pmatrix}b-1&1-b&0\\0&1-b&b-1\\0&c&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
Trocando [tex3]C_2\rightarrow C_3[/tex3]
[tex3]{\color{Red}-\,}a^4\cdot\det\begin{pmatrix}b-1&0&1-b\\0&b-1&1-b\\0&0&c\end{pmatrix}=0[/tex3]
Como isso se trata de uma Matriz Triangular, o determinante é igual a multiplicação da diagonal principal:
[tex3]-a^4\cdot(b-1)(b-1)(c)=0[/tex3]
Solução
Para a equação zerar precisamos nos preocupar apenas com os termos com [tex3]x[/tex3] :
[tex3](b-1)^2\cdot c=0[/tex3]
[tex3](b-1)^2\cdot (3-2b-b^2)=0[/tex3]
[tex3](b-1)^2\cdot(-b^2-2b+3)=0[/tex3]
Temos, para [tex3](b-1)^2=0[/tex3] , que [tex3]b=1\,\,\,\therefore\,\,\,\frac{x}{a}=1\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{x=a}[/tex3]
Para o segundo, apliquemos as Relações de Girard:
[tex3]-b^2-2b+3=0\\b^2+2b-3=0[/tex3]
[tex3]b_1=-3\\b_2=1[/tex3]
Já havíamos achado que [tex3]b=1[/tex3] , ignorando ele, [tex3]b=-3\,\,\,\therefore\,\,\,\frac xa=-3\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{x=-3a}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\{-3a,a\}}[/tex3]
[tex3]\det\begin{pmatrix}x&a&a&a\\a&x&a&a\\a&a&x&a\\a&a&a&x\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot\det\begin{pmatrix}{\color{PineGreen}\frac xa}&1&1&1\\1&{\color{PineGreen}\frac xa}&1&1\\1&1&{\color{PineGreen}\frac xa}&1\\1&1&1&{\color{PineGreen}\frac xa}\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot\det\begin{pmatrix}{\color{PineGreen}b}&1&1&{\color{Red}1_{1,4}}\\1&{\color{PineGreen}b}&1&1\\1&1&{\color{PineGreen}b}&1\\1&1&1&{\color{PineGreen}b}\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]a^4\cdot{\color{Red}(-1)^{1+4}}\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&1-1\\1-b&1-1&b-1\\1-b^2&1-b&1-b\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\1-b^2&1-b&1-b\end{pmatrix}=0[/tex3]
Sendo [tex3]L_3=L_3+L_1+L_2[/tex3] :
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\1-b^2+2(1-b)&1-b+b-1+0&1-b+0+b-1\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\{\color{PineGreen}3-2b-b^2}&0&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
[tex3]-a^4\cdot\det\begin{pmatrix}1-b&b-1&0\\1-b&0&b-1\\{\color{PineGreen}c}&0&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
Trocando [tex3]C_1\rightarrow C_2[/tex3]
[tex3]{\color{Red}+\,}a^4\cdot\det\begin{pmatrix}b-1&1-b&0\\0&1-b&b-1\\0&c&0\end{pmatrix}=0[/tex3]
Trocando [tex3]C_2\rightarrow C_3[/tex3]
[tex3]{\color{Red}-\,}a^4\cdot\det\begin{pmatrix}b-1&0&1-b\\0&b-1&1-b\\0&0&c\end{pmatrix}=0[/tex3]
Como isso se trata de uma Matriz Triangular, o determinante é igual a multiplicação da diagonal principal:
[tex3]-a^4\cdot(b-1)(b-1)(c)=0[/tex3]
Solução
Para a equação zerar precisamos nos preocupar apenas com os termos com [tex3]x[/tex3] :
[tex3](b-1)^2\cdot c=0[/tex3]
[tex3](b-1)^2\cdot (3-2b-b^2)=0[/tex3]
[tex3](b-1)^2\cdot(-b^2-2b+3)=0[/tex3]
Temos, para [tex3](b-1)^2=0[/tex3] , que [tex3]b=1\,\,\,\therefore\,\,\,\frac{x}{a}=1\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{x=a}[/tex3]
Para o segundo, apliquemos as Relações de Girard:
[tex3]-b^2-2b+3=0\\b^2+2b-3=0[/tex3]
[tex3]b_1=-3\\b_2=1[/tex3]
Já havíamos achado que [tex3]b=1[/tex3] , ignorando ele, [tex3]b=-3\,\,\,\therefore\,\,\,\frac xa=-3\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{x=-3a}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\{-3a,a\}}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 21 Fev 2022, 16:05, em um total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Fev 2022
21
16:41
Re: Matrizes e determinantes
muito obrigado ______________________________________________________________________________________
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