Determine o valor da integral de linha [tex3]\int\limits_{C}~z ds[/tex3]
onde C é a curva acima do plano xy dada pela interseção da esfera x² + y² +z² =4 com o palno x=y.
Alternativas a)0 b)8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
c) 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d)4 e) 16 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integral de linha Tópico resolvido
Jun 2015
07
11:28
Integral de linha
Editado pela última vez por calc3 em 07 Jun 2015, 11:28, em um total de 1 vez.
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Cardoso1979
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Out 2022
04
07:28
Re: Integral de linha
Observe
Eba!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com alternativas
Uma solução:
Vamos parametrizar a curva dada , vem;
x = y = t → t² + t² + z² = 4 → z² = 4 - 2t² ∴ z = √( 4 - 2t² ).
Os limites de integração são:
4 - 2t² ≥ 0 ⇔ 2t² - 4 ≤ 0 ⇒ - √2 ≤ t ≤ √2.
A equação vetorial é
[tex3]\vec{r}( t )[/tex3] = x( t ).[tex3]\hat i [/tex3] + y( t ).[tex3]\hat j[/tex3] + z( t ).[tex3]\hat k[/tex3] ⇔
[tex3]\vec{r}( t )[/tex3] = t.[tex3]\vec i [/tex3] + t.[tex3]\vec j[/tex3] + [ √( 4 - 2t² ) ].[tex3]\vec k[/tex3] ⇔
Derivada de [tex3]\vec r ( t )[/tex3] :
[tex3]\vec r' ( t ) = \hat i + \hat j - \frac{2t}{\sqrt{4 - 2t^2}}.\hat k[/tex3]
Cálculo do módulo de [tex3]\vec r' ( t )[/tex3] :
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ 1^2 + 1^2 + \left(-\frac{ 2t }{\sqrt{ 4 - 2t^2 }}\right)^2}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ 2 + \frac{ 4t^2 }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ \frac{ 8 - \cancel{4t^2} + \cancel{4t^2} }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ \frac{ 8 }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \frac{ \sqrt{ 8 }}{ \sqrt{4 - 2t^2 }}[/tex3] ( I )
e
f( x , y , z ) = z ⇔ f( t ) = √( 4 - 2t² ) ( I I )
Substituindo ( I ) e ( I I ) na integral dada , fica;
[tex3]\int\limits_{C}^{} z \ ds = \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\cancel{\sqrt{4 - 2t^2}}. \frac{ \sqrt{ 8 }}{ \cancel{\sqrt{4 - 2t^2 }} }dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{ 8 } \ dt = [/tex3]
[tex3]\sqrt{8}. [ t ]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = [/tex3]
√8.[ (√2) - ( - √2 ) ] = √8.( 2√2 ) = 2.√( 8.2 ) = 2√16 = 2.4 = 8
Portanto,
[tex3]\int\limits_{C}^{} z \ ds [/tex3] = 8.
Obs. Se fosse [tex3]\int\limits_{C}^{} x.z \ ds [/tex3] , daí a resposta seria zero( 0 ) , mais não sei se o dado é esse. Suponho que tem algum erro na pergunta.
Mais um usuário que teve a sua única pergunta aqui neste fórum resolvida
Excelente estudo!
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Uma solução:
Vamos parametrizar a curva dada , vem;
x = y = t → t² + t² + z² = 4 → z² = 4 - 2t² ∴ z = √( 4 - 2t² ).
Os limites de integração são:
4 - 2t² ≥ 0 ⇔ 2t² - 4 ≤ 0 ⇒ - √2 ≤ t ≤ √2.
A equação vetorial é
[tex3]\vec{r}( t )[/tex3] = x( t ).[tex3]\hat i [/tex3] + y( t ).[tex3]\hat j[/tex3] + z( t ).[tex3]\hat k[/tex3] ⇔
[tex3]\vec{r}( t )[/tex3] = t.[tex3]\vec i [/tex3] + t.[tex3]\vec j[/tex3] + [ √( 4 - 2t² ) ].[tex3]\vec k[/tex3] ⇔
Derivada de [tex3]\vec r ( t )[/tex3] :
[tex3]\vec r' ( t ) = \hat i + \hat j - \frac{2t}{\sqrt{4 - 2t^2}}.\hat k[/tex3]
Cálculo do módulo de [tex3]\vec r' ( t )[/tex3] :
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ 1^2 + 1^2 + \left(-\frac{ 2t }{\sqrt{ 4 - 2t^2 }}\right)^2}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ 2 + \frac{ 4t^2 }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ \frac{ 8 - \cancel{4t^2} + \cancel{4t^2} }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \sqrt{ \frac{ 8 }{ 4 - 2t^2 }}[/tex3]
[tex3]|| \vec r' ( t ) || = \frac{ \sqrt{ 8 }}{ \sqrt{4 - 2t^2 }}[/tex3] ( I )
e
f( x , y , z ) = z ⇔ f( t ) = √( 4 - 2t² ) ( I I )
Substituindo ( I ) e ( I I ) na integral dada , fica;
[tex3]\int\limits_{C}^{} z \ ds = \int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\cancel{\sqrt{4 - 2t^2}}. \frac{ \sqrt{ 8 }}{ \cancel{\sqrt{4 - 2t^2 }} }dt = [/tex3]
[tex3]\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{ 8 } \ dt = [/tex3]
[tex3]\sqrt{8}. [ t ]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = [/tex3]
√8.[ (√2) - ( - √2 ) ] = √8.( 2√2 ) = 2.√( 8.2 ) = 2√16 = 2.4 = 8
Portanto,
[tex3]\int\limits_{C}^{} z \ ds [/tex3] = 8.
Obs. Se fosse [tex3]\int\limits_{C}^{} x.z \ ds [/tex3] , daí a resposta seria zero( 0 ) , mais não sei se o dado é esse. Suponho que tem algum erro na pergunta.
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