Olimpíadas ⇒ IMO - Divisibilidade Tópico resolvido

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Sejam m e n inteiros positivos tais que:
[tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

= 1 - [tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}[/tex3]

+ ... - [tex3]\frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}[/tex3]

.
Prove que m é divisível por 1979.

[undefinied3]

Questão incrível, vários pulos de gato pra fazer.

Reescreva a expressão da seguinte maneira:
[tex3]1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1319}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1318})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1319}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1319}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1318})[/tex3]

Sobram apenas metade dos termos.

[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]

Agora, repare que a soma de um termo com seu "simétrico" é 1979. Então vamos fazer isso:
[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}+...+\frac{1}{989}+\frac{1}{990}=\frac{1979}{660.1319}+...+\frac{1979}{989.990}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}+...+\frac{1}{989}+\frac{1}{990}=\frac{1979}{660.1319}+...+\frac{1979}{989.990}[/tex3]

Veja, para concluir, que 1979 é primo, e portanto os denominadores nunca irão dividir 1979, mesmo após somar todas as fraçoes e tirar o denominador em comum. Assim a gente conclui que a soma é do tipo [tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m}{n}[/tex3]

, com m múltiplo de 1979

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Muito Obrigado undefinied3!