Ensino Superior

Mensagem não lidapor **ilprofeta** » 28 Jun 2014, 11:22 · Mensagem não lida por **ilprofeta** » 28 Jun 2014, 11:22

Determine a projeção ortogonal da reta $r: x + 1 = y + 2 = 3z - 3$ sobre o plano $\pi: x - y + 2z = 0$ .

Mensagem não lidapor **Juniorhw** » 03 Jul 2014, 00:30 · Mensagem não lida por **Juniorhw** » 03 Jul 2014, 00:30

Primeiro vamos saber a posição relativa da reta ao plano:

O produto escalar $<\vec{n_1},\vec v >$ , onde $\vec{n_1}$ é o vetor normal ao plano e $\vec v$ é o vetor diretor da reta, é diferente de zero, logo a reta não é paralela ao plano, e como $\vec {n_1}$ não é colinear ao $\vec v$ , a reta não é ortogonal ao plano, então a reta é secante e não ortogonal ao plano e a projeção dela sobre o plano é uma reta. Para achar essa reta podemos encontrar o plano que contém a reta e cujo vetor normal desse plano é ortogonal ao vetor normal do plano dado, e então fazer a intersecção entre esses planos. Além disso, o vetor normal do plano que contém a reta é ortogonal ao vetor diretor da reta. Então um vetor normal desse plano que contém a reta pode ser dado pelo produto vetorial $\vec{n_1}\times\vec v$ :

$\vec{n_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-1&2\\1&1&\frac{1}{3}\end{vmatrix}=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3},2\right)$

Como esse plano passa por $(-1,-2,1)$ , que é um ponto da reta, a equação do plano que contém a reta então é:

$-\frac{7}{3}(x+1)+\frac{5}{3}(y+2)+2(z-1)=0\\\\7x-5y-6z+3=0$

Basta agora fazer a intersecção com $\pi: x - y + 2z = 0$ :

$\begin{Bmatrix}7x-5y-6z+3=0\\x - y + 2z = 0\end{matrix}\\\\7(y-2z)-5y-6z+3=0\Rightarrow z=\frac{2y-3}{20}\\\\x-\frac{20z+3}{2}+2z=0\Rightarrow z=\frac{2x-3}{16}$

Então a equação da reta projeção é:

$\boxed{\frac{2x-3}{16}=\frac{2y-3}{20}=z}$

Espero que seja isso,

Abraço.

Mensagem não lidapor **ilprofeta** » 03 Jul 2014, 08:50 · Mensagem não lida por **ilprofeta** » 03 Jul 2014, 08:50

Muito obrigado!

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