Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Reta Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
ilprofeta
- Mensagens: 12
- Registrado em: 19 Jun 2014, 22:22
- Última visita: 25-08-22
- Agradeceu: 10 vezes
- Agradeceram: 5 vezes
Jun 2014
21
19:03
Geometria Analítica - Reta
Obtenha uma equação vetorial da reta [tex3]t[/tex3]
que passa pelo ponto [tex3]P = (1, 0, 1)[/tex3]
, é paralela ao plano [tex3]\pi: x - 3y - z = 1[/tex3]
e é concorrente com a reta [tex3]s: (0, 0, 0) + (2, 1, -1)[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 05 Mai 2024, 16:40, em um total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
AndreFgm
- Mensagens: 59
- Registrado em: 15 Mai 2012, 22:39
- Última visita: 04-06-15
- Agradeceu: 9 vezes
- Agradeceram: 62 vezes
Jun 2014
26
16:50
Re: Geometria Analítica - Reta
Olá ilprofeta,
Acredito que a reta [tex3]s[/tex3] tenha equação [tex3]s:(x,y,z)=(0,0,0)+\alpha (2,1,-1) \;\;/ \;\;\alpha \in \mathbb{R}[/tex3] , pois a equação apresentada anteriormente se trata de um ponto. Caso o seja, vamos à resolução:
i) Analisando o plano [tex3]\pi[/tex3] , nota-se que vetor [tex3]\vec{n}=(1,-3,-1)[/tex3] é normal ao plano e, consequentemente, uma vez que a reta [tex3]t[/tex3] é paralela a [tex3]\pi[/tex3] , também é normal à própria reta [tex3]t[/tex3] .
Obs.: Se você não compreendeu por que [tex3]\vec{n}[/tex3] é normal a [tex3]\pi[/tex3] , segue a demonstração em anexo:
Considere dois pontos [tex3]A=(x_a,y_a,z_a)[/tex3] e [tex3]B=(x_b,y_b,z_b)[/tex3] quaisquer pertencentes a [tex3]\pi[/tex3] , é valido que:
[tex3]x_a - 3y_a - z_a = 1[/tex3]
[tex3]x_b - 3y_b - z_b = 1[/tex3]
Subtraindo-se a segunda equação da primeira, encontramos:
[tex3](x_a - 3y_a - z_a)-(x_b - 3y_b - z_b) = 1-1[/tex3]
[tex3](x_a-x_b) - 3(y_a-y_b) - (z_a-z_b) = 0[/tex3]
A equação encontrada pode ser escrita na forma vetorial:
[tex3]<(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b).(1,-3,-1)> = 0[/tex3]
[tex3]<\vec{n}.(A-B)> = 0[/tex3]
Ou seja, o vetor [tex3]\vec{n}[/tex3] é normal a todos os vetores que unem quaisquer dois pontos do plano [tex3]\pi[/tex3] , portanto, é normal ao próprio plano.
ii) Uma vez que a reta [tex3]t[/tex3] é concorrente à reta [tex3]s[/tex3] , existe um ponto [tex3]Q[/tex3] que pertence a ambas as retas.
Uma vez que tal ponto está contido em [tex3]s[/tex3] ,
[tex3]Q=(0,0,0) + k(2,1,-1)=(2k,k,-k)[/tex3]
Onde [tex3]k[/tex3] é um número real.
Uma vez que [tex3]Q[/tex3] também é elemento de [tex3]t[/tex3] , o vetor que o une a [tex3]P[/tex3] deverá ser normal ao vetor [tex3]\vec{n}[/tex3] . Portanto, o produto escalar entre esses vetores deverá ser nulo:
[tex3]<\vec{n}.(Q-P)>=0[/tex3]
[tex3]<(1,-3,-1).(1-2k,k,1-k)>=0[/tex3]
[tex3]1-2k-3k+k-1=0[/tex3]
[tex3]k=0[/tex3]
Portanto, temos que [tex3]Q=(0,0,0)[/tex3] .
Assim, podemos determinar um vetor diretor [tex3]\vec{v}[/tex3] da reta:
[tex3]\vec{v}=P-Q=(1,0,1)-(0,0,0)[/tex3]
[tex3]\vec{v}=(1,0,1)[/tex3]
Uma equação vetorial da reta é:
[tex3]t:(x,y,z)=Q+\lambda\vec{v}[/tex3]
[tex3]t:(x,y,z)=\lambda(1,0,1) \;\;/ \;\;\lambda \in \mathbb{R}[/tex3]
Acredito que a reta [tex3]s[/tex3] tenha equação [tex3]s:(x,y,z)=(0,0,0)+\alpha (2,1,-1) \;\;/ \;\;\alpha \in \mathbb{R}[/tex3] , pois a equação apresentada anteriormente se trata de um ponto. Caso o seja, vamos à resolução:
i) Analisando o plano [tex3]\pi[/tex3] , nota-se que vetor [tex3]\vec{n}=(1,-3,-1)[/tex3] é normal ao plano e, consequentemente, uma vez que a reta [tex3]t[/tex3] é paralela a [tex3]\pi[/tex3] , também é normal à própria reta [tex3]t[/tex3] .
Obs.: Se você não compreendeu por que [tex3]\vec{n}[/tex3] é normal a [tex3]\pi[/tex3] , segue a demonstração em anexo:
Resposta
Considere dois pontos [tex3]A=(x_a,y_a,z_a)[/tex3] e [tex3]B=(x_b,y_b,z_b)[/tex3] quaisquer pertencentes a [tex3]\pi[/tex3] , é valido que:
[tex3]x_a - 3y_a - z_a = 1[/tex3]
[tex3]x_b - 3y_b - z_b = 1[/tex3]
Subtraindo-se a segunda equação da primeira, encontramos:
[tex3](x_a - 3y_a - z_a)-(x_b - 3y_b - z_b) = 1-1[/tex3]
[tex3](x_a-x_b) - 3(y_a-y_b) - (z_a-z_b) = 0[/tex3]
A equação encontrada pode ser escrita na forma vetorial:
[tex3]<(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b).(1,-3,-1)> = 0[/tex3]
[tex3]<\vec{n}.(A-B)> = 0[/tex3]
Ou seja, o vetor [tex3]\vec{n}[/tex3] é normal a todos os vetores que unem quaisquer dois pontos do plano [tex3]\pi[/tex3] , portanto, é normal ao próprio plano.
ii) Uma vez que a reta [tex3]t[/tex3] é concorrente à reta [tex3]s[/tex3] , existe um ponto [tex3]Q[/tex3] que pertence a ambas as retas.
Uma vez que tal ponto está contido em [tex3]s[/tex3] ,
[tex3]Q=(0,0,0) + k(2,1,-1)=(2k,k,-k)[/tex3]
Onde [tex3]k[/tex3] é um número real.
Uma vez que [tex3]Q[/tex3] também é elemento de [tex3]t[/tex3] , o vetor que o une a [tex3]P[/tex3] deverá ser normal ao vetor [tex3]\vec{n}[/tex3] . Portanto, o produto escalar entre esses vetores deverá ser nulo:
[tex3]<\vec{n}.(Q-P)>=0[/tex3]
[tex3]<(1,-3,-1).(1-2k,k,1-k)>=0[/tex3]
[tex3]1-2k-3k+k-1=0[/tex3]
[tex3]k=0[/tex3]
Portanto, temos que [tex3]Q=(0,0,0)[/tex3] .
Assim, podemos determinar um vetor diretor [tex3]\vec{v}[/tex3] da reta:
[tex3]\vec{v}=P-Q=(1,0,1)-(0,0,0)[/tex3]
[tex3]\vec{v}=(1,0,1)[/tex3]
Uma equação vetorial da reta é:
[tex3]t:(x,y,z)=Q+\lambda\vec{v}[/tex3]
[tex3]t:(x,y,z)=\lambda(1,0,1) \;\;/ \;\;\lambda \in \mathbb{R}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 05 Mai 2024, 16:40, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 4055 Exibições
-
Última mensagem por Radius
-
- 1 Respostas
- 7239 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 2 Respostas
- 8389 Exibições
-
Última mensagem por ilprofeta
-
- 2 Respostas
- 2028 Exibições
-
Última mensagem por ANABEATRIZ18
-
- 1 Respostas
- 1432 Exibições
-
Última mensagem por csmarcelo
