Banco de Questões - Binômio de Newton

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(IME - 1996) Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão:

$formdata=\Large\left(1+\frac{1}{3}\right)^{65}$

Esta questão consiste em nada mais nada menos que uma aplicação de regras.

Qualquer questão que venha a pedir o maior valor do desenvolvimento de um binômio de Newton pode ser resolvida assim.

A primeira coisa a fazer é lembrar a fórmula de um termo qualquer do desenvolvimento do binômio genérico (A + B)ⁿ:

$formdata=T_{p+1}=\left(+n\\p\right)\cdot+B^p\cdot+A^{(n-p)}$

Onde $formdata=\left(+n\\p\right)=C_{n,p}=C_n^p=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!}$ (famoso número binomial), "A" e "B" são os termos do binômio e "n" é o expoente do binômio.

Agora vem a manha secreta. Sabendo a fórmula do T_p+1, vamos encontrar a fórmula para o T_p. Para isso é só substituir o p por p-1.

$formdata=T_{p}=\left(\begin{array}{c}n\\p-1\end{array}\right)\cdot+B^{p-1}\cdot+A^{(n-(p-1))}$

TchãTchãTchãTchãããããã... Dividimos as duas fórmulas, T_p+1/T_p:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{\left(n\\p\right)\cdot+B^{p}\cdot+A^{(n-p)}}{\left(\begin{array}{c}n\\p-1\end{array}\right)\cdot+B^{p-1}\cdot+A^{(n-(p-1))}}$

Vamos substituir o número binomial pela sua fórmula e desenvolver os cálculos:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot+B^{p}\cdot+A^{(n-p)}}{\frac{n!}{(p-1)!\cdot(n-p+1)!} \cdot+B^{p-1}\cdot+A^{(n-p+1))}}$

Conserva-se a fração de cima e multiplica-se pela de baixo:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot+B^{p}\cdot+A^{(n-p)}\cdot+\frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)!}{n!\cdot+B^{p-1}\cdot+A^{(n-p+1)}}$

Vamos agrupar os termos semelhantes:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n!}{p!\cdot(n-p)!} \cdot+\frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)!}{n!}\cdot\frac{B^p}{B^{p-1}}\cdot\frac{A^{n-p}}{A^{n-p+1}}$

Dá para "cortar" o n!, dividir os termos com base B e A e desenvolver um fator das fatoriais p! e (n-p+1)!:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{(p-1)!\cdot(n-p+1)\cdot(n-p)!}{p\cdot(p-1)!\cdot(n-p)!}\cdot\frac{B}{A}$

Agora dá para simplificar os últimos fatoriais, e teremos:

$formdata=\frac{T_{p+1}}{T_p}=\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}$

$formdata=T_{p+1}=T_p\cdot\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}$

Esta "fórmula" acima nos dirá qual o maior termo do desenvolvimento da questão.

Note que T_p+1 é o termo posicionado imediatamente depois do T_p.

Esta fórmula nos dá a relação existente entre um termo qualquer e seu sucessor.

Se tivermos T_p+1 igual à T_p multiplicado por um número MAIOR que 1, então podemos garantir que T_p+1 > T_p.

Portanto, para T_p+1 ser maior que T_p, devemos ter:

$formdata=\frac{n-p+1}{p}\cdot\frac{B}{A}>1$

Enquanto isto acontecer, o próximo termo é sempre maior que o anterior.

Vamos voltar ao nosso exercício. Substituindo os valores do binômio do enunciado na desigualdade acima, teremos:

$formdata=\frac{65-p+1}{p}\cdot\frac{\hspace{3}\frac{1}{3}\hspace{3}}{1}>1$

$formdata=66-p>3p$

$formdata=66>4p$

$formdata=p<16,5$

Ou seja, enquanto p for menor que 16,5, o termo seguinte será maior que o termo anterior.

Como "p" é natural, o último "p" a satisfazer esta equação é o p=16, que nos afirma que $formdata=T_{16+1}>T_{16}$ .

Sendo assim, o maior termo do desenvolvimento do binômio dado no enunciado é o DÉCIMO SÉTIMO TERMO

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