Banco de Questões - Geometria Plana
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Primeiro devemos fazer alguns "riscos" para nos auxiliar na montagem da resolução. Veja a figura abaixo: Note que o risco vermelho adicionado à figura tem comprimento exatamente igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, vale 1. Agora vamos fazer outro "risco" nesta figura: Note, novamente, que o novo risco vermelho da figura acima tem comprimento igual ao raio da circunferência destacada, ou seja, também 1. Com isso, temos o seguinte triângulo equilátero destacado: O lado deste triângulo vale 1 (mesma medida do lado do quadrado). Portanto, utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero, podemos concluir que a área deste triângulo será: Como sabemos, os ângulos internos de um triângulo equilátero valem todos 60o. Portanto, podemos destacar o seguinte setor circular no desenho: Vamos chamar este de setor1. A = π.R² Portanto, a área do setor1 será Agora, de posse destes valores, podemos descobrir a área do pedaço destacado na figura abaixo: Esta área será igual à área do setor1 menos a área do triângulo equilátero. Vamos chamar esta área de A1, ou seja: Guardamos este valor e vamos para um próximo passo. Sabemos que o ângulo interno de um quadrado vale 90o. Portanto: O setor circular destacado de amarelo na figura acima tem 30o. Se 30o equivalem a 1/12 de 360o (circunferência completa), sua área também será. Ou seja, chamando de setor2, temos: Veja só, se pegarmos este valor e diminuirmos A1, teremos um pedaço bem interessante para trabalharmos. Tirando o MMC e calculando: Guardamos este valor e vamos agora calcular a seguinte área (essa é mais fácil). Note que esta área nada mais é do que um setor de 90o do círculo de rai 1. Como 90o equivalem a 1/4 da circunferência completa, sua área também será 1/4 da área total. Ou seja, como a área total vale π, A3 irá valer: Veja o desenho abaixo: Se o lado do quadrado vale 1, sua área também vale 1. Portanto, a área cinza marcada na figura acima será: Acinza = 1 - A3 - A2 Tirando MMC e calculando: Veja, a área solicitada no exercício é uma área formada por 4 partes de Acinza : Então sua área será 4 vezes a Acinza: Esta é a resposta!
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