Este tópico é só uma curiosidade. Vamos demonstrar a fórmula da soma dos quadrados dos "n" primeiros números naturais não nulos (não se preocupe, isso não é cobrado no vestibular da UFRGS):

{1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + ... + n²}

Para entender esta demonstração, devemos saber algumas coisas antes. Quanto vale (a+b)³?

Vamos ver:

(a + b)³ = (a + b) · (a + b) · (a + b)
(a + b)³ = (a + b)² · (a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²) · (a + b)
(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Sabendo esta fórmula, vamos aplica-la em (p + 1)³.

(p + 1)³ = p³ + 3p² · 1 + 3p · 1² + 1³
(p + 1)³ = p³ + 3·p² + 3·p + 1

Agora vamos substituir nesta fórmula o valor de "p" pelos números naturais, a partir de 0 até um valor "n".

Agora vamos trabalhar em cima da coluna destacada. Veja o gráfico abaixo:

Veja que separamos cada grupo de parcelas semelhantes das equações com blocos de cores diferentes. Vamos somar todas as equações. Como a soma é comutativa, ou seja, não importa a ordem das parcelas que a soma é a mesma, vamos somar primeiro os termos semelhantes do grupo vermelho, depois do verde e assim sucessivamente:

Agora que sabemos quanto vale cada bloco, vamos colocá-los na mesma ordem de onde tiramos. A ordem é esta:

Portanto, substituindo as cores pelos seus valores, temos:

O que estamos procurando é a soma dos quadrados (e ela já esta na equação acima, no bloco verde) portanto, vamos chamá-la de "S" (para economizar tempo).

Todos os termos ao cubo do bloco vermelho irão se cancelar com os termos ao cubo do bloco roxo (pois um está de um lado da equação e outro do outro lado), no momento temos:

O bloco vermelho pode ser retirado.
No bloco azul temos dentro do parênteses a soma dos "n" primeiros número naturais, que seguem como uma PA de razão r=1 , primeiro termo a₁=1 e último termo a_n=n e o número de termos é o próprio "n". Utilizando a fórmula da soma "n" primeiros termos de uma PA, temos:

Agora podemos substituir no bloco azul o valor de dentro do parênteses pelo valor que achamos:

Não precisamos mais dos blocos:

Vamos multiplicar os dois lados da equação por 2 (para tirar a fração que está enchendo o saco):

6S+3(1+n)n+2(n+1)=2(n+1)³

Como é o "S" que queremos, vamos isolá-lo:

6S=-3(n+1)n-2(n+1)+2(n+1)³

Podemos colocar o (n+1) em evidência no lado direito da equação

6S=(n+1)·[-3n-2+2(n+1)²]

Vamos desenvolver o quadrado do lado direito e efetuar alguns cálculos:

6S=(n+1)·[-3n-2+2(n²+2n+1)]
6S=(n+1)·(-3n-2+2n²+4n+2)
6S=(n+1)·(2n²+n)
6S=(n+1)·n(2n+1)

Agora podemos "passar" o 6 para o outro lado e isolar nosso "S" .

Esta é a fórmula da soma dos quadrados dos "n" primeiros números naturais não nulos.

Exemplo:

Qual a soma dos quadrados dos 16 primeiros números naturais não nulos?

S=(16+1)·16·(2·16+1)/6
S=17·16·33/6
S=1496